Exercice
Session Normale 2012
Partie 1
On considère la fonction `g` définie sur `]0,+infty[` par `g(x)= x^2-1+2x^2lnx`
1) Montrer que `x^2-1` et `2x^2lnx` ont le meme signe sur `]0,1]` puis en déduire que `forall x in ]0,1] :g(x) <= 0 `
2) Montrer que `x^2-1` et `2x^2lnx` ont le meme signe sur `[1,+infty` puis en déduire que `forall x in [1,+infty[ :g(x) >= 0 `
Partie II
On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par `f(x)= (x^2-1)lnx`
1) a) Montrer que `lim_{ x to 0^+} f(x)= +infty ` , puis donner l'interprétation géométrique au résultat obtenu
b) calculer `lim_{ x to +infty} f(x)`, puis montrer que `lim_{ x to +infty} {f(x)}/x= +infty` , en déduire que `C_f` admet une branche parabolique dont on déterminera sa direction
2 a) Montrer que `forall x in ]0,+infty[ :f'(x)= {g(x)}/x`, puis donner l 'interprétation géométrique du résultat `f'(1)= 0 `
b) En déduire que `f` est décroissante sur `]0,1]` et croissante sur `[1,+infty[`
c) Donner le tableau des variations de `f` , puis montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : f(x) >= 0 `
3) Tracer la courbe `C_f` dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j)) ( unité 3cm^2) `
4) a) Montrer que la fonction `u :x-> 1/3x^3 -x ` est une primitive sur `R` de la fonction `x-> x^2-1`
b) par intégration par parties montrer que `int_1^2 (x^2-1)lnx = 2/9(1+3ln2)`
c) calculer l'aire du domaine délimité par la courbe `C_f` , l'axe des abscisses et les droites définies par `x= 1` et `x=2`
Partie 1
On considère la fonction `g` définie sur `]0,+infty[` par `g(x)= x^2-1+2x^2lnx`
1) Montrer que `x^2-1` et `2x^2lnx` ont le meme signe sur `]0,1]` puis en déduire que `forall x in ]0,1] :g(x) <= 0 `
2) Montrer que `x^2-1` et `2x^2lnx` ont le meme signe sur `[1,+infty` puis en déduire que `forall x in [1,+infty[ :g(x) >= 0 `
Partie II
On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par `f(x)= (x^2-1)lnx`
1) a) Montrer que `lim_{ x to 0^+} f(x)= +infty ` , puis donner l'interprétation géométrique au résultat obtenu
b) calculer `lim_{ x to +infty} f(x)`, puis montrer que `lim_{ x to +infty} {f(x)}/x= +infty` , en déduire que `C_f` admet une branche parabolique dont on déterminera sa direction
2 a) Montrer que `forall x in ]0,+infty[ :f'(x)= {g(x)}/x`, puis donner l 'interprétation géométrique du résultat `f'(1)= 0 `
b) En déduire que `f` est décroissante sur `]0,1]` et croissante sur `[1,+infty[`
c) Donner le tableau des variations de `f` , puis montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : f(x) >= 0 `
3) Tracer la courbe `C_f` dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j)) ( unité 3cm^2) `
4) a) Montrer que la fonction `u :x-> 1/3x^3 -x ` est une primitive sur `R` de la fonction `x-> x^2-1`
b) par intégration par parties montrer que `int_1^2 (x^2-1)lnx = 2/9(1+3ln2)`
c) calculer l'aire du domaine délimité par la courbe `C_f` , l'axe des abscisses et les droites définies par `x= 1` et `x=2`
6 réponses
1) Montrons que `x^2-1` et `2x^2lnx` ont le meme signe sur `]0,1]`
soit ` x in ]0, 1 ] `
On a `x^2-1 = (x-1)(x+1) `
alors pour tout `x in ]0,1] : x^2-1 <= 0 ` car `(x-1) <= 0 ` et `(x+1) >= 0`
et `2x^2lnx <= 0` car ` lnx <= ln(1) = 0 ` et ` 2x^2 > 0 `
on conclut que pour tout ` x in ]0,1]` ` 2x^2lnx <= 0 ` et ` x^2 -1 <= 0 `
de plus ` => 2x^2lnx + x^2 -1 <= 0 `
alors
Avez vous une question
2) Montrons que `x^2-1` et `2x^2lnx` ont le même signe sur `[1,+infty[`
soit ` x >= 1 `
On a `x^2-1 = (x-1)(x+1) >= 0 ` car ` x-1 >= 0 ` et `x+1 >= 0`
On a `2x^2lnx >= 0 ` car `2x^2 >= 0` et `lnx >= ln1 = 0 `
donc pour tout ` x in [1,+infty[ : x^2-1 >=0` et `2x^2lnx >= 0 `
de plus
`=> x^2-1 +2x^2lnx >= 0 `
`=> g(x) >= 0 `
Avez vous une question
1) a) Montrer que `lim_{ x to 0^+} f(x)= +infty ` , puis donner l'interprétation géométrique au résultat obtenu
on a `lim_{ x to 0^+} f(x) = lim_{ x to 0^+} (x^2-1)lnx`
On a `lim_{ x to 0^+} lnx = -infty ` et `lim_{ x to 0^+} (x^2-1)=-1 `
`=> lim_{ x to 0^+} (x^2-1)lnx = +infty`
Interprétation géométrique
`=> ` la droite d'équation `x= 0` est une asymptote verticale de `C_f`
Avez vous une question
b) calculer `lim_{ x to +infty} f(x)`, puis montrer que `lim_{ x to +infty} {f(x)}/x= +infty` , en déduire que `C_f` admet une branche parabolique dont on déterminera sa direction
on a `lim_{x to +infty} (x^2-1)= +infty` et `lim_{ x to + infty} lnx `
`=> lim_{ x to +infty} (x^2-1)lnx = +infty `
on a `lim_{ x to +infty} (f(x))/x = lim_{ x to +infty} (x^2-1)/xlnx = +infty `
car `lim_{ x to +infty} (x^2-1)/x = lim_{ x to +infty} x^2/x = lim_{ x to +infty} x = +infty `
et `lim_{ x to +infty} lnx = +infty `
la courbe `C_f` admet une branche parabolique au voisinage de `+infty` de direction l'axe des ordonnées
Avez vous une question
2 a) Montrer que `forall x in ]0,+infty[ :f'(x)= {g(x)}/x`, puis donner l 'interprétation géométrique du résultat `f'(1)= 0 `
on a `f` est dérivable sur `]0,+infty[` ( comme produit de deux fonctions dérivables )
`f'(x) =( (x^2-1)lnx)' = (x^2-1)'lnx +(x^2-1)ln'x`
`= 2xlnx + (x^2-1)/x`
`= {2x^2lnx + x^2-1}/x`
`= {g(x) }/x`
l'interprétation de `f'(1)= 0 `
la courbe `C_f` admet une tangente horizontale en `A(1,f(1))=A(1,0) `
Avez vous une question
c) Donner le tableau des variations de `f` , puis montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : f(x) >= 0 `
Tableau des variations de `f`
Montrons que ` forall x in ]0,1] cup [1,+infty[ : f(x) >= 0 `
Méthode 1
Selon le tableau des variations `f` : `0 =f(1)` est une valeur minimale de `f` sur `]0,+infty[`
Méthode 2
on a `f(1) = 0 `
pour tout ` x in ]0,1] =>` `f` est décroissante ` : x <= 1 => f(x) >= f(1) = 0 `
pour tout ` x in [1,+infty => ` `f` est croissante ` : x >= 1 => f(x) >= f(1) = 0 `
et par suite ` forall x in ]0,1] cup [1,+infty[ : f(x) >= 0 `
Avez vous une question